Siebte Wurzel

Die siebte Wurzel ziehen nur mit Kopfrechnen

Lassen Sie jemanden eine beliebige ein- bis dreistellige Zahl x wählen, diese Zahl in die siebte Potenz y = x7 erheben und Ihnen nur das Resultat y zeigen oder diktieren. Die von ihm genannte Zahl y darf nicht abgekürzt und gerundet, z. B. 4.2593E14, sein (E steht für 10 hoch), sondern muss sämtliche Ziffern enthalten, also z. B. 425'927'596'977'747 . Nach einigen einfachen Überlegungen können Sie ihm die ursprüngliche Zahl x nennen. Dazu brauchen Sie keinen Taschenrechner, sondern rechnen alles im Kopf.
Gegeben ist also die (ganze) Zahl y, und Sie bestimmen x = 7y .
Dabei geht man in bis zu drei Schritten vor:

Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten, die vorderste Stelle von x zu bestimmen.
Für beide Varianten muss man einige Werte auswendig kennen.

1a) Mit Logarithmen:
Allerdings sollten Sie hier Kenntnisse im Umgang mit Logarithmen haben und einige wenige Werte auswendig kennen, z. B. log(2), log(3), log(5), und andere davon herleiten können.

    n    log n
    1     0.00
    1.25  0.10
    1.6   0.20
    2     0.30
    2.5   0.40
    3     0.48
    4     0.60
    5     0.70
    6     0.78
    7     0.85
    8     0.90
    9     0.95
   10     1.00

1b) Mit den gerundeten siebten Potenzen:

    n	       n7
    1	        1
    1.5	       17
    2	      128
    2.5	      600
    3	    2'000  (= 2'187)
    3.5	    6'400
    4	   16'000  (= 22·7 = 210+4 = 1000·24)
    5	   80'000  (= 100.7·7 = 104+0.9 = 104·8)
    6	  300'000
    7	  800'000
    8	2'000'000  (= 23·7 = 220+1 = 10002·21)
    9	5'000'000

Wir schneiden bei y von rechts her so oft 7 Stellen ab, bis eine ein- bis siebenstellige Zahl zurück bleibt.
Die ½-Zwischenwerte helfen beim Auf-/Abrunden.

Wir stellen 1a) und 1b) jeweils nebeneinander zum Vergleich.

* * *

Beispiel:

	x = 7y = 778'125
Schritt 1a:
y      ≈ 8·104
log(y) = log(8) + log(104) = 0.9 + 4 = 4.9
log(x) = log(y)/7 = 4.9/7 = 0.7 = log(5)
was zu x = 5 führt.
Schritt 1b:
y ≈ 80'000 = 57
was sofort zu x = 5 führt.

* * *

Jetzt sagen Sie, das hätte man auch aufgrund der letzten Ziffer 5 von y sagen können? Stimmt! Deshalb bestimmen wir die Endziffer immer direkt:

Schritt 2

Letzte Ziffer von x bestimmen.
Sie hängt eindeutig von der Endziffer von y ab.
Für x↔y und y↔x gilt: 1↔1, 4↔4, 5↔5, 6↔6, 9↔9 bleiben unverändert, und 2↔8, 3↔7 gehören paarweise zusammen.

Beispiel:

	x = 7y = 76'060'711'605'323
Schritt 1a:
y      ≈ 6·1012
log(y) = log(6) + log(1012) = 0.78 + 12
log(x) = log(y)/7 = 12.78/7 = 1.83
x      = 101.83 = 101·100.83
log(6) = 0.70 < 0.83 < 0.85 = log(7)
also 60 < x < 70
Schritt 1b:
y  ≈ 600'000·107
67 = 300'000 < 600'000 < 800'000 = 77
also 60 < x < 70

Schritt 2:

dazu kommt: letzte Ziffer von y = 3, deshalb letzte Ziffer von x = 7, somit x = 67

* * *

Schritt 3

Ein y mit 15 bis 21 Ziffern ergibt ein x mit 3 Ziffern. Die erste und die letzte Ziffer bestimmen wir wie oben, und für die mittlere Ziffer nehmen wir den modulo 11 (= alternierende Quersumme) zu Hilfe. Aus x7 mod 11 ergibt sich x mod 11:

	x7      x  mod 11
	 0      0
	±1     ±1
	±2     ±8 = ∓3
	±3     ±5
	±4     ±9 = ∓2
	±5     ±4
  allgemein gilt:
	 a      a3 mod 11

(mod 9 wäre einfacher, geht aber nicht immer, weil 07 = 37 = 67 = 0 mod 9 nicht eindeutig ist.)

Beispiel:

	x = 7y = 7257'923'243'662'349'697'024
Schritt 1a:
2·1020 < y < 3·1020
20.30 < log y < 20.48
log y  = 20.39 
(Mittelwert zwischen 20.30 und 20.48)
log x  = 20.39/7 = 2.91 = 2 + 0.91
0.90   = log(8)
x      = 102·8 = 800
Schritt 1b:
y  = 2'579'232·1014
87 = 2'000'000 < 2'579'000 < 5'000'000 = 97
also 800 < x < 900
da y näher an der unteren Grenze ist, 
nehmen wir vorläufig x = 800

(vorläufig, "00" noch genauer zu bestimmen)

Schritt 2:
	Endziffer [y: 4]  →  [x: 4]
	x = 804 (vorläufig, Zehner "0" noch genauer zu bestimmen, 
        x könnte auch 814, 794 o.Ä. sein)
Schritt 3:
	x          = 804 ± i·10
	y mod 11   = −1  →  x mod 11 = −1
	804 mod 11 = 1, zu korrigieren auf −1, 
        d.h. entweder minus 2 oder plus 9, d.h.
	x          = 804 + 20 oder 804 − 90
	ersteres ist näher bei 804 und 794, also x = 824	
fertig!

Tipp zur Bestimmung von y mod 11: von rechts paarweise Differenzen (Einer minus Zehner) bilden, laufend summieren und in den Bereich −5...+5 reduzieren:

	2 57 92 32 43 66 23 49 69 70 24
	|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  2
	|  |  |  |  |  |  |  |  | -7 = -5
	|  |  |  |  |  |  |  | +3 = -2
	|  |  |  |  |  |  | +5 = 3
	|  |  |  |  |  | +1 = 4
	|  |  |  |  |(66 ignorieren, da ±0)
	|  |  |  | -1 = 3
	|  |  | -1 = 2
	|  | -7 = -5
	| +2 = -3
	+2 = -1

* * *

Noch ein Beispiel gefällig?

	x = 7y = 795'53'05'53'18'55'78'67'18'75
(Die ' nach Zweiergruppen gesetzt, um den 11er-Rest 
in Schritt 3 optisch schneller zu finden.)
Schritt 1a:
y      = 9.5·1019 ≈ 10·1019 = 1020
log x  = 20.00/7 = 2.85
0.85   = log(7)
x      = 102·7 = 700 
Schritt 1b:
y = 955'305·1014
955'305 ≈ 800'000 = 77
x = 700

(vorläufig, "00" noch genauer zu bestimmen)

 

Schritt 2:
	Endziffer [y: 5]  →  [x: 5]
	x = 705 
(vorläufig, Zehner "0" noch genauer zu bestimmen, 
könnte auch 715, 695 o.Ä. sein)
Schritt 3:
	x          = 705 ± i·10
	y mod 11   = 0  →  x mod 11 = 0
	705 mod 11 = 1, 
        zu korrigieren auf 0, d.h. entweder minus 1 oder plus 10, d.h.
	x          = 705 + 10 oder 705 − 100
	ersteres ist näher bei 705 oder 695, also x = 715

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Und nun versuchen Sie's doch mal mit x = 74'25'92'75'96'97'77'47 !

Tipp: y = 4·1014 :   17 = 1 < 4 < 27 = 128; 
also bekommen Sie die erste Ziffer ganz ohne Logarithmen (Schritt 1b)!

* * *